CONTENIDOS BASICOS DEL ALGEBRA 1. TÉRMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a^2b y 5a^2b son semejantes. Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo: * -2a^2b + 5a^2b = 3a^2b * 10x^2z^3 -22x^2z^3 = -12x^2z^3 Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar: La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes. 2. ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: (1) Si aparece un signo "+" delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. (2) Si aparece un signo "-" delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. * Ejemplo: 2ab - (a + ab) + (3a - 4ab) = Aplicando las reglas anteriores, tenemos: 2ab - a - ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes: -2ab + 2a - ab 3. MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: "para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes". * Ejemplo: 2x^2y^3z*4x^4y^2 = 8x^6y^5z Multiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: "el monomio multiplica a todos los términos del polinomio". * Ejemplo: 2ab (3a - ab^2 + 4b^2c^2) = 2ab*3a - 2ab*ab^2 + 2ab*4b^2c^2 = 6a^2b - 2a^2b^3 + 8ab^3c^2 Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio. * Ejemplo: (2a - 3b^2c) (4a^2 + 5ab^3) = 2a*4a^2 + 2a*5ab^3 - 3b^2c*4a^2 - 3b^2c*5ab^3 = 8a^3 + 10 ab^3 - 12 a^2b^2c - 15ab^5c Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo. (2x - 3y + 4z^2)*(5x + 2xy + 4xz^2) = 2x*5x + 2x*2xy + 2x*4xz^2 - 3y*5x - 3y*2xy - 3y*4xz^2 + 4z^2*5x + 4z^2*2xy + 4z^2*4xz^2 = 10x^2 + 4x^2y + 8x2z^2 - 15xy - 6xy^2 - 12xyz^2 + 20xz^2 + 8xyz^2 + 16xz^4 4. PRODUCTOS NOTABLES Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente. Suma por su diferencia: (a + b) (a - b) = a^2 - b^2 Cuadrado de binomio: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 Multiplicación de binomios con término común: (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab Cuadrado de trinomio: (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac Cubo de binomio: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 5. FACTORIZACIÓN Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes: Factor común Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo: 15x^2y^2z^3 - 5xy^3z^2 + 10x^4y^4z^3 Aquí el factor común es: 5xy^2z^2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma: 15x^2y^2z^3 - 5xy^3z^2 + 10x^4y^4z^3 = 5xy^2z^2 (3xz - y + 2x^3y^2z), lo que corresponde a su factorización. Diferencia de cuadrados Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases. a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) Ejemplo: 25a^2 - 16b^4 Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b^2: Por lo tanto: (5a)^2 - (4b^2)^2 = (5a + 4b^2) (5a - 4b^2) Factorización de trinomio cuadrático perfecto Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 Ejemplo: 16x^2 - 24xy + 9y^2 En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x^2 = (4x)^2 y 9y^2 = (3y)^2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio: (4x - 3y)^2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada. Factorización de trinomio cuadrático no perfecto En este caso hay dos subcasos: Caso en que el coeficiente cuadrático es 1 Utilizando el producto notable "producto de binomios con término común": (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x^2 + px + q Ejemplo: x^2 - 10x + 24 El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto: x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6) Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1 Ejemplo: 2x^2 + 7x - 15 Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático: El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = -30. Estos números son: 10 y -3: Diferencia de cubos a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2) Ejemplo: 125z^3 - 64y^6 La expresión 125z^3 es el cubo de 5z y 64y^6 es el cubo de 4y^2, por lo tanto: 125z^3 - 64y^6 = (5z)^3 - (4y^2)^3 Ocupando que a = 5z y b = 4y^2 en la expresión dada, tenemos que: (5z)^3 - (4y^2)^3 = (5z - 4y^2)(25z^2 + 20y^2z + 16y^4)